提示 :此条目的主题不是
波函数 。
根据波动方程的建模,一个
脉冲 在一根固定两端的绳子上的运动。
波动方程 或称波方程 (英语:wave equation )是一种重要的偏微分方程 ,主要描述自然界 中的各种的波动 现象,包括横波和纵波,例如声 波、光 波、引力波 、无线电波 和水 波。波动方程抽象自声学 、波动光学 、电磁学 、电动力学 、流体力学 、广义相对论 等领域。
历史上许多科学家,如达朗贝尔 、欧拉 、丹尼尔·伯努利 和拉格朗日 等在研究乐器 等物体中的弦振动问题时,都对波动方程理论作出过重要贡献。[1] [2] [3] [4] 1746年,达朗贝尔发现了一维波动方程,欧拉在其后10年之内发现了三维波动方程。[5]
简介
波动方程是双曲形偏微分方程 的最典型代表,其最简形式可表示为:关于位置x 和时间t 的标量函数u (代表各点偏离平衡位置的距离)满足:
∂
2
u
∂
t
2
=
c
2
∇
2
u
{\displaystyle { \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2u }
这里c 通常是一个固定常数 ,代表波的传播速率。在常压、20 °C的空气中c 为343米/秒(参见音速 )。在弦振动问题中,c 依不同弦的密度 大小和轴向张力 不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧(一种玩具,英文商标为Slinky)上,波速可以慢到1米/秒。
其他形式的波动方程还能在量子力学 和广义相对论 理论中用到。
标量形式的一维波动方程
波动方程的推导
一维波动方程可用如下的方式推导:一列质量为m 的小质点,相邻质点间用长度h 的弹簧连接。弹簧的弹性系数 (又称“倔强系数”)为k :
其中u (x )表示位于x 的质点偏离平衡位置的距离。施加在位于x+h 处的质点m 上的力为:
F
N
e
w
t
o
n
=
m
⋅
a
(
t
)
=
m
⋅
∂
2
∂
t
2
u
(
x
+
h
,
t
)
{\displaystyle F_{Newton}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}}
F
H
o
o
k
e
=
F
x
+
2
h
+
F
x
=
k
[
u
(
x
+
2
h
,
t
)
−
u
(
x
+
h
,
t
)
]
+
k
[
u
(
x
,
t
)
−
u
(
x
+
h
,
t
)
]
{\displaystyle F_{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]}
其中
F
N
e
w
t
o
n
{\displaystyle F_{Newton}}
代表根据牛顿第二定律 计算的质点惯性力 ,
F
H
o
o
k
e
{\displaystyle F_{Hooke}}
代表根据胡克定律 计算的弹簧作用力。所以根据分析力学 中的达朗贝尔原理 ,位于x+h 处质点的运动方程为:
m
∂
2
u
(
x
+
h
,
t
)
∂
t
2
=
k
[
u
(
x
+
2
h
,
t
)
−
u
(
x
+
h
,
t
)
−
u
(
x
+
h
,
t
)
+
u
(
x
,
t
)
]
{\displaystyle m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]}
式中已注明u (x )是时间t 的显函数 。
若N 个质点间隔均匀地固定在长度L = N h 的弹簧链上,总质量M = N m ,链的总体劲度系数 为K = k /N ,我们可以将上面的方程写为:
∂
2
u
(
x
+
h
,
t
)
∂
t
2
=
K
L
2
M
u
(
x
+
2
h
,
t
)
−
2
u
(
x
+
h
,
t
)
+
u
(
x
,
t
)
h
2
{\displaystyle {\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^2}}
取极限 N
→
∞
{\displaystyle \rightarrow \infty }
, h
→
0
{\displaystyle \rightarrow 0}
就得到这个系统的波动方程:
∂
2
u
(
x
,
t
)
∂
t
2
=
K
L
2
M
∂
2
u
(
x
,
t
)
∂
x
2
{\displaystyle {\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 } }
在这个例子中,波速
c
=
K
L
2
M
{\displaystyle c = \sqrt {\frac{{KL^2 }}{M}}}
。
一般解
代数方法
一维标量形式波动方程的一般解是由达朗贝尔 给出的。原方程可以写成如下的算子作用形式:
[
∂
∂
t
−
c
∂
∂
x
]
[
∂
∂
t
+
c
∂
∂
x
]
u
=
0.
{\displaystyle \left[ \frac{\partial}{\partial t} - c\frac{\partial}{\partial x}\right] \left[ \frac{\partial}{\partial t} + c\frac{\partial}{\partial x}\right] u = 0.\,}
从上面的形式可以看出,若F 和G 为任意函数,那么它们以下形式的组合
u
(
x
,
t
)
=
F
(
x
−
c
t
)
+
G
(
x
+
c
t
)
{\displaystyle u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) \,}
必然满足原方程。上面两项分别对应两列行波 ——F 表示经过该点(x 点)的右行波,G 表示经过该点的左行波。为完全确定F 和G 的最终形式还需考虑如下初始条件:
u
(
x
,
0
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle u(x,0)=f(x) \,}
u
t
(
x
,
0
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle u_t(x,0)=g(x) \,}
经带入运算,就得到了波动方程著名的达朗贝尔行波解 ,又称达朗贝尔公式 :
u
(
x
,
t
)
=
f
(
x
−
c
t
)
+
f
(
x
+
c
t
)
2
+
1
2
c
∫
x
−
c
t
x
+
c
t
g
(
s
)
w
t
{\displaystyle u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) wt}
在经典的意义下,如果
f
(
x
)
∈
C
k
{\displaystyle f(x) \in C^k}
并且
g
(
x
)
∈
C
k
−
1
{\displaystyle g(x) \in C^{k-1}}
则
u
(
t
,
x
)
∈
C
k
{\displaystyle u(t,x) \in C^k}
。但是,行波函数F 和G 也可以是广义函数 ,比如狄拉克δ函数 。在这种情况下,行波解应被视作左行或右行的一个脉冲 。
基本波动方程是一个线性微分方程 ,也就是说同时受到两列波作用的点的振幅就是两列波振幅的相加。这意味着可以通过把一列波分解成它的许求解中很有效。此外,可以通过将波分离出各个分量来分析,例如傅里叶变换可以把波分解成正弦分量。
标量形式的三维波动方程
瑞士数学家和物理学家莱昂哈德·欧拉 (b. 1707)发现了三维空间中的波动方程。[5]
三维波动方程初值问题的解可以通过求解球面波波动方程得到。求解结果可用于推导二维情况的解。
球面波
球面波方程的形式不随空间坐标系统的转动而变化,所以可以将它写成仅与距源点距离r 相关的函数。方程的三维 形式为:
u
t
t
−
c
2
(
u
r
r
+
2
r
u
r
)
=
0.
{\displaystyle u_{tt} - c^2 \left( u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right) =0. \,}
将方程变形为:
(
r
u
)
t
t
−
c
2
(
r
u
)
r
r
=
0
;
{\displaystyle (ru)_{tt} -c^2 (ru)_{rr}=0; \,}
此时,因变量ru 满足一维波动方程,于是可以利用达朗贝尔行波法将解写成:
u
(
t
,
r
)
=
1
r
F
(
r
−
c
t
)
+
1
r
G
(
r
+
c
t
)
,
{\displaystyle u(t,r) = \frac{1}{r} F(r-ct) + \frac{1}{r} G(r+ct), \,}
其中F 和G 为任意函数,可以理解为以速度c 从中心向外传播的波和从外面向中心传播的波。这类从点源传出的波强度随距点源距离r 衰减,并且属于无后效波 ,可以清晰地搭载信号 。这种波仅在奇数 维空间中存在(原因将在下一小节中详细解释)。幸运的是,我们生活的空间是三维的,所以我们可以清晰地通过声波和电磁波(都属于球面波)来互相交流。
时间箭头的讨论
上面方程的解里面,分成了两部分,一部分表示向外传播的波,一部分则是向内。很明显,只要将t换成-t,就可以在这两部分之间转换。这体现了原始方程对于时间是对称的,任意的一个解在时间轴上倒过来看仍然是一个解。
然而,我们所观察到的实际的波,都是属于向外传播的。除非精心地加以调整,我们无法在自然界观察到向内的波,尽管它们也是波动方程的合法的解。
关于这个现象,引起了不少讨论。有人认为,实际上它们即使存在,也无法加以观察。想想如果四周的光向一个物体集中,则因为没有光到达我们的眼睛,我们不可能看见这个物体或者发现这个现象(见参考文献[2] )。
广义初值问题的解
波动方程中u 是线性函数,并且不随时间和空间坐标的平移而改变。所以我们可以通过平移与叠加球面波获得方程各种类型的解。令φ(ξ,η,ζ)为任意具有三个自变量的函数,球面波形F 为狄拉克δ函数 (数学语言是:F 是一个在全空间积分等于1且非零区间收缩至原点的连续函数的弱极限 )。设(ξ,η,ζ)位一族球面波的源点,r 为距源点的径向距离,即:
r
2
=
(
x
−
ξ
)
2
+
(
y
−
η
)
2
+
(
z
−
ζ
)
2
.
{\displaystyle r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2. \,}
可定义
U
(
t
,
x
,
y
,
z
;
ξ
,
η
,
ζ
)
=
δ
(
r
−
c
t
)
4
π
c
r
{\displaystyle U(t,x,y,z;\xi ,\eta ,\zeta ) = \frac{{\delta (r - ct)}}{{4\pi cr}}}
称为三维波动方程的影响函数 ,其意义为(ξ,η,ζ)点在t =0时刻受到短促脉冲δ函数作用后向空间中传出的波的影响,系数分母 4πc是为方便后续处理而加上的。
若u 是这一族波函数的加权叠加,且权函数 为φ,则
u
(
t
,
x
,
y
,
z
)
=
1
4
π
c
∭
φ
(
ξ
,
η
,
ζ
)
δ
(
r
−
c
t
)
r
d
ξ
d
η
d
ζ
;
{\displaystyle u(t,x,y,z) = \frac{1}{4\pi c} \iiint \varphi(\xi,\eta,\zeta) \frac{\delta(r-ct)}{r} d\xi\,d\eta\,d\zeta; \,}
从δ函数的定义可知,u 还能写成
u
(
t
,
x
,
y
,
z
)
=
t
4
π
∬
S
φ
(
x
+
c
t
α
,
y
+
c
t
β
,
z
+
c
t
γ
)
d
ω
,
{\displaystyle u(t,x,y,z) = \frac{t}{4\pi} \iint_S \varphi(x +ct\alpha, y +ct\beta, z+ct\gamma) d\omega, \,}
式中α、β和γ是单位球面S 上点的坐标,dω为S 上的面积微元。该结果的意义为:u (t ,x ,y ,z )是以(x ,y ,z )为圆心,ct 为半径的球面上φ的平均值的t 倍:
u
(
t
,
x
,
y
,
z
)
=
t
M
c
t
[
ϕ
]
.
{\displaystyle u(t,x,y,z) = t M_{ct}[\phi]. \,}
从上式易得
u
(
0
,
x
,
y
,
z
)
=
0
,
u
t
(
0
,
x
,
y
,
z
)
=
ϕ
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle u(0,x,y,z) = 0, \quad u_t(0,x,y,z) = \phi(x,y,z). \,}
平均值是关于t 的偶函数 ,所以若
v
(
t
,
x
,
y
,
z
)
=
∂
∂
t
(
t
M
c
t
[
ψ
]
)
,
{\displaystyle v(t,x,y,z) = \frac{\partial}{\partial t} \left( t M_{ct}[\psi] \right), \,}
那么
v
(
0
,
x
,
y
,
z
)
=
ψ
(
x
,
y
,
z
)
,
v
t
(
0
,
x
,
y
,
z
)
=
0.
{\displaystyle v(0,x,y,z) = \psi(x,y,z), \quad v_t(0,x,y,z) = 0. \,}
以上得出的便是波动方程初值问题的解。从中可以看出,任意点P 在t 时刻受到的波扰动只来自以P 为圆心,ct 为半径的球面上,而这个球的内部点在这一时刻 对P 点的状态完全没有影响(因为它们的影响之前就已经传过P 点了)。换一个角度分析,假设三维空间中任意点P' 在t =0时刻受到一个脉冲扰动δ,那么由此发出的球面波在传过空间中的任意其它点Q 后,便再也不会对Q 的运动状态产生影响,这就是在物理学中也非常著名的惠更斯原理 (Huygens' principle),也称为无后效现象 ,表示传过的球面波不会留下任何后续效应。
下面我们便可以解释上一小节中留下的问题了。事实上,前面所得到的球面波解仅在奇数维空间中存在。偶数维空间中波动方程的解是弥散的 ,也就是说波阵面 掠过区域仍然会受其影响。以下面的二维波动方程(极坐标 形式,注意和上一小节三维形式的差别)为例:
u
t
t
−
c
2
(
u
r
r
+
1
r
u
r
)
=
0
{\displaystyle u_{tt} - c^2 (u_{rr} + \frac{1}{r}u_r ) = 0}
可以从三维形式的解通过降维法 得到二维波动方程的影响函数:
U
(
t
,
x
−
ξ
,
y
−
η
)
=
{
1
2
π
c
1
c
2
t
2
−
r
2
,
r
≤
c
t
0
,
r
>
c
t
{\displaystyle U(t,x - \xi ,y - \eta )=\begin{cases} \frac{1}{{2\pi c}}\frac{1}{{\sqrt {c^2 t^2 - r^2 } }}, & r \le ct \\ 0, & r > ct \end{cases}}
其中
r
=
(
x
−
ξ
)
2
+
(
y
−
η
)
2
{\displaystyle r = \sqrt {(x - \xi )^2 + (y - \eta )^2 } }
设点M (x ,y )到点(ξ,η)距离为d ,那么从影响函数中可以看出,当t >d /c 即初始扰动已传过M 点后,M 仍在受到它的影响。二维球面波(柱面波)的这一性质决定了它不能作为传递信号的工具,因为这种波(事实上包括所有偶数维空间中的球面波)经过的点受到的是交织在一起的各个不同时刻的扰动。
标量形式的二维波动方程
二维波动方程的直角坐标形式为:
u
t
t
=
c
2
(
u
x
x
+
u
y
y
)
.
{\displaystyle u_{tt} = c^2 \left( u_{xx} + u_{yy} \right). \,}
如前所述,我们可以从三维波动方程的解中将u 视为与其中一个自变量无关(降维法)来得到二维形式的解。将初始条件改写为
u
(
0
,
x
,
y
)
=
0
,
u
t
(
0
,
x
,
y
)
=
ϕ
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle u(0,x,y)=0, \quad u_t(0,x,y) = \phi(x,y), \,}
则三维形式的解就变成
u
(
t
,
x
,
y
)
=
t
M
c
t
[
ϕ
]
=
t
4
π
∬
S
ϕ
(
x
+
c
t
α
,
y
+
c
t
β
)
d
ω
,
{\displaystyle u(t,x,y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4\pi} \iint_S \phi(x + ct\alpha,\, y + ct\beta) d\omega,\,}
其中α和β是单位球面上点的头两个坐标 分量,dω是球面上的面积微元。此积分可变换为在(x ,y )为中心,ct 为半径的圆域D 上的积分:
u
(
t
,
x
,
y
)
=
1
2
π
c
∬
D
ϕ
(
x
+
ξ
,
y
+
η
)
(
c
t
)
2
−
ξ
2
−
η
2
d
ξ
d
η
.
{\displaystyle u(t,x,y) = \frac{1}{2\pi c} \iint_D \frac{\phi(x+\xi, y +\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}} d\xi\,d\eta. \,}
从这个结果也能得到上一小节最后的结论。
二维波动方程解的一个例子是紧绷的鼓面的运动。
边值问题
一维情形
一根自身绷紧,两端分别固定于x =0 和x =L 的弹性弦在t >0时刻,0 < x < L 上运动满足波动方程。在边界点处,可以要求u 满足各种边界条件 。通常遇到的边界条件都可归纳成下列形式:
−
u
x
(
t
,
0
)
+
a
u
(
t
,
0
)
=
0
,
{\displaystyle -u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,}
u
x
(
t
,
L
)
+
b
u
(
t
,
L
)
=
0
,
{\displaystyle u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,}
其中a 、b 非负。若要弦的两端固定不动,对应上面式子中a 、b 趋于无穷大 。求解偏微分方程的分离变量法 要求寻找以下形式的解:
u
(
t
,
x
)
=
T
(
t
)
v
(
x
)
.
{\displaystyle u(t,x) = T(t) v(x).\,}
将上述假设形式代入原方程中可以得到:
T
″
c
2
T
=
v
″
v
=
−
λ
.
{\displaystyle \frac{T''}{c^2T} = \frac{v''}{v} = -\lambda. \,}
为使边值问题有非平凡解 ,本征值 λ须满足
v
″
+
λ
v
=
0
,
{\displaystyle v'' + \lambda v=0, \,}
−
v
′
(
0
)
+
a
v
(
0
)
=
0
,
v
′
(
L
)
+
b
v
(
L
)
=
0.
{\displaystyle -v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,}
这是固有值问题的斯图姆-刘维尔理论 的一个特例。若a 、b 为正数,则对应的所有本征值均为正数,方程的解为三角函数 。使u 和ut 满足平方可积 条件的解可以通过适当选取u 和ut 三角级数 展开来求得。
多维情形
一维初始值-边值理论可以拓展至任意维空间中。考虑m 维空间(坐标简写为x )中的域D ,B 为D 的边界。当0<t 时,位于D 内的点x 满足波动方程。在D 的边界上,解u 须满足
∂
u
∂
n
+
a
u
=
0
,
{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n} + a u =0, \,}
其中n 是B 上指向域外的法向矢量,a 是定义在B 上的非负函数。要求u 在B 上始终为0的边界条件相当于令a 趋于无穷。初始条件为
u
(
0
,
x
)
=
f
(
x
)
,
u
t
=
g
(
x
)
,
{\displaystyle u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \,}
其中f 和g 是定义在D 内的函数。这个问题可以通过将f 和g 展开成域D 内拉普拉斯算子 满足边界条件 的本征函数 系的叠加来求解(这是分离变量法 的一般步骤)。也就是求解在域D 内满足
∇
⋅
∇
v
+
λ
v
=
0
,
{\displaystyle \nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,}
在边界B 上满足
∂
v
∂
n
+
a
v
=
0
,
{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial n} + a v =0, \,}
的本征函数系v 。
在二维情形下,上述本征函数系可以理解成绷紧地张在边界B 上的鼓面的自由振动模态 。若B 是一个圆,则这些本征函数是关于极角自变量θ 的三角函数 与关于极轴自变量r 的整阶贝塞尔函数 的乘积。更详细的说明参见英文版条目亥姆霍兹方程。
在三维形式下,若边界是空间中的球面,那么本征函数是关于球坐标下两个极角自变量的球面调和函数 ,乘以关于径向自变量ρ 的半奇数阶贝塞尔函数 。
进一步推广
在针对实际问题的波动方程中,一般都将波速表示成可随波的频率 变化的量,这种处理对应真实物理 世界中的色散 现象。此时,c 应该用波的相速度 代替:
v
p
=
ω
k
{\displaystyle v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}}
。
实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅 的变化,修正后的方程变成下面的非线性波动方程 :
∂
2
u
∂
t
2
=
c
(
u
)
2
∇
2
u
{\displaystyle { \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \nabla^2u }
另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动(譬如介质的平动,以气流中传播的声波为例)上的。这种情况下,标量u 的表达式将包含一个马赫 因子(对沿流动方向传播的波为正,对反射波为负)。
三维波动方程 描述了波在均匀 各向同性 弹性 体中的传播。绝大多数固体 都是弹性体,所以波动方程对地球 内部的地震波 和用于检测固体材料 中缺陷 的超声波 的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时,三维波动方程的形式比前面更为复杂,它必须同时考虑固体中的纵波 和横波 :
ρ
u
¨
=
f
+
(
λ
+
2
μ
)
∇
(
∇
⋅
u
)
−
μ
∇
×
(
∇
×
u
)
{\displaystyle \rho \ddot {\mathbf{u}} = \mathbf{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})}
式中:
λ
{\displaystyle \lambda}
和
μ
{\displaystyle \mu}
被称为弹性体的拉梅常数 (也叫“拉梅模量”,英文Lamé constants或Lamé moduli),是描述各向同性 固体弹性性质的参数;
ρ
{\displaystyle \rho}
表示密度 ;
f
{\displaystyle \mathbf{f}}
是源函数(即外界施加的激振力);
u
{\displaystyle \mathbf{u}}
表示位移;
注意在上述方程中,激振力和位移都是矢量 ,所以该方程也被称为矢量形式的波动方程 。
注释
↑ Cannon, John T.; Dostrovsky, Sigalia. The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 6 . New York: Springer-Verlag: ix + 184 pp. 1981. ISBN 0-3879-0626-6 . GRAY, JW. BOOK REVIEWS. BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. July 1983, 9 (1). (retrieved 13 Nov 2012).
↑ Gerard F Wheeler. The Vibrating String Controversy, (retrieved 13 Nov 2012). Am. J. Phys., 1987, v55, n1, p33-37.
↑ For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
↑ For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
↑ 5.0 5.1 Speiser, David. Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800 , p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
参考文献
严镇军编,《数学物理方程》,第二版,中国科学技术大学出版社,合肥,2002,第210页~第224页,ISBN 7-312-00799-6
[英]胡·普赖斯著,肖巍译,《时间之矢与阿基米德之点—物理学时间的新方向》,上海科学技术出版社,上海,2001,ISBN 7-5323-5737-6
M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I , Acta Math., 124 (1970), 109–189.
M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II , Acta Math., 131 (1973), 145–206.
R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
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外部链接